MATEMATICAS GRADO 9º GUIA 2 PRIMER PERIODO

 

GUIA 2. MATEMATICAS GRADO 9º PRIMER PERIODO 2021

Profesor: Humberto Carvajal Morales

9.2 Relaciones y funciones. ACTIVIDAD 2

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https://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.html Pág. explica Relaciones y funciones

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9.2.1 La relación matemática es el vínculo que existe entre los elementos de un subconjunto con respecto al producto de dos conjuntos. Una relación en los reales es una regla de correspondencia que asocia a cada número real “x” de un conjunto de partida A ⊆ R (llamado Dominio de la relación) uno o más números reales “y” de un conjunto de llegada B ⊆ R (llamado Contra dominio). de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

9.2.2  Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

 

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

 

El papel que juegan las representaciones en la construcción del conocimiento es fundamental, de ahí que una relación puede tener varias representaciones: en forma verbal, de ecuación algebraica, numérica o de tabla y gráfica. Para ilustrar esto, se presentan los siguientes ejemplos: 

 

a). En forma verbal:

 

Se describe la relación en lenguaje materno lo más precisa posible para poderla escribir, como, por ejemplo, “un número real “y” es igual al cuadrado de otro número “x” más una unidad”. 

 

Ejemplos:

En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio.

En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada nombre de la guía le corresponde un número.

 

b). En forma de ecuación algebraica:

 

y = x² +1

 dónde:

 

 “y” representa los valores que toma la variable dependiente, corresponde su ubicación en el eje vertical o de las ordenadas del plano cartesiano.

 

 “x” es la variable independiente, puede tomas cualquier valor de los números reales, corresponde su ubicación en el eje horizontal o de las abscisas del plano cartesiano.

 

El 1 representa la constante que también puede ser cualquier número de los reales.

 

c). En forma numérica o de tabla:

 

Este proceso llamado también tabulación, es un arreglo que puede ser en forma horizontal o vertical y en donde en el primer renglón o primera columna, se ubican algunos valores reales del primer número “x” y en el segundo renglón o columna se ubican los valores del número “y” (que con la ayuda de la forma de ecuación algebraica se puede obtener y = x² +1.

 

Damos valores a “x” para completar los valores de “y” en la tabla

y = x² +1.

 

Cuando x = 0   → y = x² +1. → y = (0)² +1→ y = 0 +1→   y = 1

Cuando x = 1   → y = x² +1. → y = (1)² +1→ y = 1 +1→   y = 2

Cuando x = 2   → y = x² +1. → y = (2)² +1→ y = 4+1→    y = 5

Cuando x = -1   → y = x² +1. → y = (-1)² +1→ y =1 +1→   y = 2

Cuando x = -2   → y = x² +1. → y = (-2)² +1→ y = 4 +1→ y = 5

 

                                                                                     

 

Por facilidad de cálculo se usaron en este caso sólo algunos números enteros, pero debe tenerse presente que los valores asignados a “x” pueden ser cualquier número real, y, además, una tabla solo nos proporciona una parte de la relación.

 

d) En forma gráfica.

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla

R = {(x, y) / y = 2 x + 1}, graficar R.

 

Solución

El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:

A x B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (1, 9), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (2, 9), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (3, 9), (4, 1), (4, 3), (4, 5) (4, 7), (4, 9),(5, 1), (5, 3) (5, 5), (5, 7) (5, 9)}

 

Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:

y = 2x + 1→   y = 2(1) + 1 →   y = 2 + 1   →   y = 3       (1, 3)

y = 2x + 1→   y = 2(2) + 1 →   y = 4 + 1   →   y = 5       (2, 5)

y = 2x + 1→   y = 2(3) + 1 →   y = 6 + 1   →   y = 7       (3, 7)

y = 2x + 1→   y = 2(4) + 1 →   y = 8 + 1   →   y = 9       (4, 9)

 

R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}

 

Gráficas correspondientes:

 1 En forma de diagrama sagital.                          2 En el plano cartesiano.

1.Diagrama sagital

2.Plano cartesiano.

 

 

 

Otros ejemplos de Relaciones:

Ejemplo 1 Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B   Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B. Solución El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados: A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B, así: La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {(x, y) / y = 1}. R1 = {(2, 1), (3, 1)} La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y} R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayores que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {(x , y) / y = x + 2} R3 = {(2, 4), (3, 5)}

 

Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y . Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

Ejemplo 2. Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación: R = {(x, y) / x + y = 3} Solución El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados: C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)} La relación es que la suma de la componente “x” más la componente” y” sea igual a 3. x + y = 3 Pares ordenados que satisfacen la relación: x + y = 3 Par ordenado 1 + 2 = 3 (1, 2) -3 + 6 = 3 (–3, 6)   Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son: R = {(1, 2), (–3, 6)}

Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

9.2.3 Dominio y rango de una relación

El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados, el dominio se representará con la letra “D”.  Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango. El rango o imagen se representa con la letra “R”

Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2 x”, encontrar Dominio y Rango de la relación. Solución El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es: A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)} Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo: R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)} En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”. Así, el dominio y rango son: D = {2, 3, 4} Rg = {4, 6, 8} Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida? En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto, el Dominio es un subconjunto de A. Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango? La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

 

9.2.4 Actividad: realiza los siguientes ejercicios:

 

 1). Con la representación de la ecuación algebraica: y = x + 2, obtenga su equivalente representación tabular, grafica en diagrama sagital y de plano cartesiano para los valores de “y”, cuando la variable “x” vale: -2,0,3,- 5 y 6.

 

2). Dados los conjuntos A = {2, –1} y B = {0, 4, 5}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación:

R = {(x, y) / 2x + y = 4}

3). Sean los conjuntos: E = {0, 1, 3, 5} y F = {2, 3, 4, 6, 7, 9} y R la relación definida de E en F determinada por la regla “y es el triple de x” o “y = 3.x”, encontrar Dominio y Rango de la relación y obtenga su equivalente representación gráfica en forma de diagrama sagital y en el plano cartesiano.            

 

4). Sean los conjuntos: S = {-2, 1, 2, 4} y T = {1, 2, 4} y R la relación definida de S en T determinada por la regla “y es un medio de x” o “y = 1x”,

                                                                                     2

encontrar Dominio y Rango de la relación y obtenga su equivalente representación gráfica en forma de diagrama sagital y en el plano cartesiano.

 

5). Dados los conjuntos H = {2, 5, 7, 9} y I = {1,3,4,8}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación:

R = {(x, y) / x - y = 4}