9.2 La
recta. ACTIVIDAD 2
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Lee con atención y copia en tu cuaderno los siguientes
conceptos teóricos.
9.2.1 La recta:
En geometría euclidiana, la recta o la línea recta
es una línea que se extiende en una misma dirección; por lo tanto, tiene una
sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se
puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola
dirección.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto
al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos, ya que su
definición solo es posible a partir de la descripción de las características de
otros elementos similares. Un ejemplo de las dificultades de la definición de
la recta a partir de puntos es la llamada paradoja de Zenón de la dicotomía,
que ilustraba la desaparición de la recta al dividirla en puntos porque luego
no había un concepto para ensamblar dicha recta a partir de puntos, ya que la
unión de dos puntos es un punto. Las rectas se suelen denominar con una letra
minúscula.
En geometría analítica las líneas rectas en un plano
pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde
x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es
denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con
la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el
plano, mientras que b es el denominado "término independiente"
u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta
corta al eje vertical en el plano.
9.2.2 Ecuación
de la recta
https://sites.google.com/site/desarrollomate1g4/ecuacion-de-la-recta
pág. explica la ecuación
de una recta.
Para entrar en esta materia y para entender lo que
significa la Ecuación de la Recta es imprescindible estudiar, o al menos
revisar, lo referido a GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANO CARTESIANO.
La idea de línea recta es uno de los conceptos
intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano).
La recta se puede entender como un conjunto infinito
de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede
ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la d
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir
de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de
coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una
expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.
El nombre que recibe la expresión algebraica
(función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.
Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que sepan de su existencia, pero expresada en términos matemáticos (como una ecuación).
Es en este contexto que
la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de
una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado.
Esta ecuación de la recta
varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta
que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias
formas de representar la ecuación de la recta, aquí estudiaremos dos formas.
9.2.2.1 Ecuación
general de la recta
Esta es una de las formas
de representar la ecuación de la recta.
De acuerdo a uno de los
postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es
necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con
abscisas (x) y ordenadas (y).
Recuerden que es
imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la
Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas
las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación
Ax + By + C = 0
Que también puede
escribirse como:
ax + by + c = 0
y que se conoce como: la ecuación
general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:
Teorema
La ecuación general de
primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los
números reales (R); y en qué A y B no son simultáneamente nulos,
representa una línea recta.
9.2.2.2 Ecuación
principal de la recta
Esta es otra de las
formas de representar la ecuación de la recta.
Pero antes de entrar en
la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:
Cada punto (x, y)
que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas,
siendo “x” el valor de la abscisa (horizontal) y “y” el valor de la ordenada
(vertical).
(x, y)
↓ ↓
(Abscisa, Ordenada)
Ejemplo: El punto (–3, 5)
tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.
(-3, 5)
↓ ↓
(Abscisa, Ordenada)
Si un par de valores (x, y) pertenece a la
recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.
Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa
x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación
y = x – 5, ya que al reemplazar queda
2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de
la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta)
también se conoce, que se obtiene con la fórmula:
y = mx + n
que considera las siguientes variables: un punto (x,
y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n),
y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como
forma simplificada, como veremos luego).
Al representar la ecuación de la recta en su forma
principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n,
esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben
considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de
intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).
Respecto a esto, m representa la pendiente de
la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal
o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el
punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y).
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde
la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en
la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la
recta de la forma
y − y1 = m (x − x1)
y – b = m (x – 0)
y – b = mx
y = mx +
b
Esta es una segunda forma de la ecuación principal
de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) y se utiliza
cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que
llamaremos b (no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la
ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la
pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
Ejemplo:
La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y
coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en
el punto (0, 7).
Conocida la fórmula de la ecuación principal
(simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible
obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos
variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el
intercepto.
Esto significa que si te dan esa información se
puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas
condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma
generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto,
le corresponde al valor de n (el
intercepto en la ordenada “y”).
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Ejemplo 1:
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m
= 3 e intercepto b = 10.
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es,
y = mx + b.
Usamos la información que tenemos:
m = 3
b = 10
sustituimos
en la ecuación:
y = 3x +
10.
La ecuación que se pide es y = 3x + 10.
Nótese que esta forma principal (simplificada o
explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:
y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por (–1),
quedando como:
– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar:
3x – y +
10 = 0
Ejemplo 2
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
(1, 2) y tiene pendiente m = – 5.
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es,
y = mx + b.
Usamos a información: m = – 5 y sustituimos en la ecuación:
y = – 5x
+ b
Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro
dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una
solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1,
y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b
Despejamos la variable b en:
2 = – 5. (1) + b →
Operando
2 = – 5 + b
2 + 5 = b
→ Transponiendo términos
b = 7
→ Solución
Sustituimos el valor de b en la ecuación que
buscamos: y = – 5x + 7
La ecuación en su forma principal (simplificada o
explícita) es y = – 5x + 7.
La cual también podemos expresar en su forma
general:
y = – 5x + 7
y + 5x – 7 = 0
la cual ordenamos y queda: 5x + y – 7 = 0
9.2.3 Actividad:
Responde las siguientes
preguntas de acuerdo con los conceptos vistos
1) ¿Una
recta es?
2) ¿Qué
representa o significa la (m) en la ecuación de una recta?
3) ¿Qué
es la pendiente de una recta?
4) Escribe
la ecuación principal de la recta?
5) Escribe
la ecuación general de la línea recta.
6) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m
= 2 e intercepto b = 7.
7) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
(-3, 2) y tiene pendiente m
= 4.
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